[Article] 黑白地砖涂色问题 (#11)

* floor coloring

* 更新地砖涂色方案数的描述和公式

黑白地砖染色问题通解

* Rename 地砖问题.md to bw-floor-coloring.md

Author: Website-xieyuen

content/post/articles/bw-floor-coloring.md

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+---
+title: 组合数学问题：地砖涂色方案数
+description: 黑白地砖染色问题通解
+date: 2026-04-04
+image: 
+math: true
+license: co-authored-by Qianwen
+draft: false
+categories:
+- Articles
+tags:
+- 黑白地砖染色
+---
+
+## 问题描述
+
+有一行共 $n$ 个地砖，要涂黑色或白色。
+
+1. **基础条件**：从左往右涂，任意时刻黑色块的数量必须大于等于白色块的数量。
+2. **进阶条件**：在满足基础条件的前提下，要求最后黑色块比白色块多 $m$ 个（$0 \le m \le n$）。
+
+我们将涂黑色记为 $+1$（向上走一步），涂白色记为 $-1$（向下走一步）。
+设坐标 $(k, y)$ 表示涂了 $k$ 块砖后，黑块数与白块数的差值为 $y$。
+
+- 起点：$(0, 0)$
+- 限制：路径不能低于 $x$ 轴（即 $y \ge 0$）。
+
+---
+
+## 1. 仅满足“过程中黑 $\ge$ 白”的方案数
+
+### 结论
+
+满足该条件的总涂法数为：
+
+$$
+A_n = \binom{n}{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}
+$$
+
+### 推导简述
+
+这是一个经典的格路问题结论。所有从 $(0,0)$ 出发且不穿过 $x$ 轴下方的长度为 $n$ 的路径总数，等于二项式系数中的中间项。
+
+- 当 $n=1$：$\binom{1}{0} = 1$ （黑）
+- 当 $n=2$：$\binom{2}{1} = 2$ （黑黑，黑白）
+- 当 $n=3$：$\binom{3}{1} = 3$ （黑黑黑，黑黑白，黑白黑）
+- 当 $n=4$：$\binom{4}{2} = 6$
+- $\cdots$
+
+---
+
+## 2. 满足“过程中黑 $\ge$ 白”且“最终黑比白多 $m$ 个”的方案数
+
+### 前提条件
+
+设最终黑块数为 $B$，白块数为 $W$。
+
+$$
+\begin{cases}
+B + W = n \\
+B - W = m
+\end{cases}
+\implies B = \frac{n+m}{2}, \quad W = \frac{n-m}{2}
+$$
+
+由于 $B, W$ 必须为整数，因此 **$n$ 和 $m$ 必须同奇偶**（即 $n \equiv m \pmod 2$）。
+
+- 若 $n, m$ 奇偶性不同，方案数为 **0**。
+- 若 $n < m$，方案数为 **0**。
+
+### 计算公式（利用反射原理）
+
+当 $n \equiv m \pmod 2$ 时，合法路径数 = (无限制总路径数) - (触碰 $y=-1$ 的非法路径数)。
+
+1. **无限制总路径数**：
+   从 $(0,0)$ 到 $(n, m)$ 的路径数，需向上走 $\frac{n+m}{2}$ 步：
+   $$ N_{total} = \binom{n}{\frac{n+m}{2}} $$
+
+2. **非法路径数**：
+   根据反射原理，从 $(0,0)$ 出发且触碰 $y=-1$ 到达 $(n, m)$ 的路径数，等价于从 $(0, -2)$ 出发到达 $(n, m)$ 的路径数。
+   此时需要的向上步数为 $\frac{n+(m+2)}{2} = \frac{n+m}{2} + 1$：
+   $$ N_{bad} = \binom{n}{\frac{n+m}{2} + 1} $$
+
+3. **最终公式**：
+   $$ N(n, m) = \binom{n}{\frac{n+m}{2}} - \binom{n}{\frac{n+m}{2} + 1} $$
+
+   该公式也可化简为广义卡特兰数的形式：
+   $$ N(n, m) = \frac{m+1}{\frac{n+m}{2} + 1} \binom{n}{\frac{n+m}{2}} $$
+
+### 总结表格
+
+| 条件 | 公式 | 备注 |
+| :--- | :--- | :--- |
+| **仅过程约束** | $\displaystyle \binom{n}{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}$ | 适用于所有 $n \ge 1$ |
+| **过程 + 终点约束** | $\displaystyle \binom{n}{\frac{n+m}{2}} - \binom{n}{\frac{n+m}{2} + 1}$ | 仅当 $n \equiv m \pmod 2$ 时有效，否则为 0 |
+
+---
+
+## 示例验证
+
+假设 $n=4$：
+
+1. **仅过程约束**：
+   $$ \binom{4}{2} = 6 $$
+   合法序列：BBBB, BBBW, BBWB, BWBB, BWBW, BBWW (注意：BWBW 是合法的，因为前缀和分别为 1, 0, 1, 0，从未小于 0)。
+2. **过程 + 终点 $m=2$** ($n, m$ 同偶)：
+   需要 $B=3, W=1$。
+   $$ \binom{4}{3} - \binom{4}{4} = 4 - 1 = 3 $$
+   合法序列：BBBW, BBWB, BWBB。
+   (非法序列：WBBB，因为第一步就变负了)。
+3. **过程 + 终点 $m=0$** ($n, m$ 同偶)：
+   需要 $B=2, W=2$。
+   $$ \binom{4}{2} - \binom{4}{3} = 6 - 4 = 2 $$
+   合法序列：BBWW, BWBW。
+   (非法序列：BWWB, WB..., 等)。