[Courses] Calculus Handouts: inverse tri funcs (#8)

* feat: 添加反三角函数的扩展内容及相关图片

* fix: 修正全错排公式推导中的公式排版错误

* refactor file struct and add award winners

* [Contest] Award winners (#5)

* Upload original file

* Award winners

* Revise award winners list and scoring criteria

Updated the award winners table and added a new section for scoring criteria.

* Fix: formatting of participation gratitude message (#7)

* Add video recommendation for inverse trigonometric functions

Added a section recommending a video resource for inverse trigonometric functions.

* upload arcsin, arccos, arctan func pic

* Enhance content on inverse trigonometric functions

Expanded the explanation of inverse trigonometric functions and their properties, including definitions, ranges, and graphs.

* Update inverse trigonometric functions post metadata

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Co-authored-by: xieyuen <xieyuenol@outlook.com>

Author: Website-xieyuen

content/post/articles/cute/wrongarrange.md

@@ -113,7 +113,7 @@ $$
 - 对于4个元素的全错排，3个元素排列正确就意味着4个元素排列正确，为什么重复计算？
 
 这个我认为是容斥原理的计算规则.我们在集合中使用容斥原理时，是按交集的个数递增的顺序计算的，像
-$|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B∩C|$（$|X|$表示集合$X$中元素个数）.你可以画Venn图，每一个
+$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|$（$|X|$表示集合$X$中元素个数）.你可以画Venn图，每一个
 圆圈代表一个元素的正确排列，就会发现其实我们要求的是“有元素正确排列”的情况，即所有集合的并集的元素个数.
 由于针对集合的计算是正确的，所以即便有些集合是空集，算出来的结果也同样是符合真实状况的.
 

content/post/courses/calculus/c1.md

@@ -9,45 +9,19 @@ hidden: false
 comments: true
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 categories:
-    - Courses
+   - Courses
 tags:
-    - Calculus
+   - 微积分
 ---
 
 ## 知识点
 
-1. 基本概念
-   - 邻域
-   - 初等函数和基本初等函数
-   - 极值和最值
-2. 函数极限的定义
-   - 六种函数极限
-3. 极限的性质和运算
-   - 四则运算
-   - 保号性
-   - “抓大头”
-4. 重要极限
-   - $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
-   - $\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e$
-5. 函数的连续性
-   - 最大值、最小值定理
-   - 介值定理 $\Rightarrow$ 零点存在定理
-
-## 练习题
-
-### 一、求极限
-
-1. $\lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{\ln x}$
-2. $\lim_{h \to 0} \frac{\sin (x+h) - \sin x}{h}$
-   - **提示**: 和差化积公式
-3. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$
-   - **提示**: 等价无穷小代换, 注意加减法不能直接换
-4. $\lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} \right)^x$
-   - **提示**: 重要极限
-5. $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$
-
-### 二、解答题（选做）
-
-1. 证明重要极限: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
-2. 求 $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots}}}$
-   - **提示**: 要证明极限的存在性
+1. 导数的定义
+2. 导数的几何意义
+3. 导数的表示方法
+4. 导数的计算方法
+5. 微分的定义
+6. 微分的几何意义
+7. 微分的表示方法
+8. 高阶导数和高阶微分
+9. 微分中值定理

content/post/courses/inverse-tri-func/arccos.png

@@ -0,0 +1,183 @@
+---
+title: "课外拓展: 反三角函数"
+description: '余切、正割、余割和反三角函数'
+date: 2026-04-03
+image: 
+math: true
+license: All Right Reserved, 河源中学数学研究协会
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+   - Courses
+tags:
+   - 三角函数
+   - 反三角函数
+---
+
+## 前言
+
+反三角函数是三角函数的反函数, 是微积分学中不可避免要涉及到的一类基本初等函数, 但是高中教材中完全没有提及. 本文将课本没有的三角函数及其反函数的定义与性质进行总结, 以供同学们参考.
+
+## 推荐视频
+
+B 站[宋浩老师](https://space.bilibili.com/66607740)的课还是很不错的, 可以去看看
+
+{{< bilibili "BV1Eb411u7Fw" >}}
+
+看完你就不需要继续看这篇文章咯
+
+## 三角函数的扩充
+
+在三角函数中, 最基本的一定是 $\sin x$ 和 $\cos x$. 课本已经给出了正弦、余弦和正切函数的详细定义与性质分析, 这里不再赘述. 下面我们讲一下这三个个三角函数:
+
+1. 余切函数 $\cot x$
+2. 正割函数 $\sec x$
+3. 余割函数 $\csc x$
+
+### 三角函数的定义
+
+余切、正割和余割函数的定义如下:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\cot x &= \cfrac{1}{\tan x} = \cfrac{\cos x}{\sin x} \\
+\sec x &= \cfrac{1}{\cos x} \\
+\csc x &= \cfrac{1}{\sin x}
+\end{aligned}
+$$
+
+根据这样的定义, 可以分析出不少的函数性质
+
+### 三角函数的性质
+
+#### 存在域和值域
+
+由上面的定义可得下表
+
+<!--markdownlint-disable MD060-->
+|    函数    |                             存在域                              |                值域                 |
+|:--------:|:------------------------------------------------------------:|:---------------------------------:|
+| $\cot x$ |        $x \in \{x \| x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$        |           $\mathbb{R}$            |
+| $\sec x$ | $x \in \{x \| x \neq \frac{\pi}{2} k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$ | $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ |
+| $\csc x$ |        $x \in \{x \| x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$        | $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ |
+
+#### 周期性
+
+直接瞪眼法 awa, 不难发现:
+
+1. $\cot (x + \pi) = \cfrac{1}{\tan (x + \pi)} = \cfrac{1}{\tan x} = \cot x \Rightarrow \cot x$ 的基本周期为 $\pi$
+2. $\sec (x + 2\pi) = \cfrac{1}{\cos (x + 2\pi)} = \cfrac{1}{\cos x} = \sec x \Rightarrow \sec x$ 的基本周期为 $2\pi$
+3. $\csc (x + 2\pi) = \cfrac{1}{\sin (x + 2\pi)} = \cfrac{1}{\sin x} = \csc x \Rightarrow \csc x$ 的基本周期为 $2\pi$
+
+#### 奇偶性
+
+先给出一个定理:
+
+> 对于任意的函数 $f(x)$, 它与 $\cfrac{1}{f(x)}$ 的奇偶性相同.
+
+此定理是显然的.
+
+由此我们就知道:
+
+- $\cot x$ 为奇函数
+- $\sec x$ 为偶函数
+- $\csc x$ 为奇函数
+
+#### 图像
+
+都这样了咱就直接画图咯
+
+![cot x](cot.png)
+![sec x](sec.png)
+![csc x](csc.png)
+
+#### 单调性
+
+由上图, 显然:
+
+1. $\cot x$ 在每个区间 $(k\pi, (k + 1)\pi), k \in \mathbb{Z}$ 上单调递减
+2. $\sec x$ 在每个区间 $(2k\pi, (2k + 1)\pi), k \in \mathbb{Z}$ 上单调递增, 在每个区间 $((2k + 1)\pi, (2k + 2)\pi), k \in \mathbb{Z}$ 上单调递减
+3. $\csc x$ 在每个区间 $(2k\pi, (2k + 1)\pi), k \in \mathbb{Z}$ 上单调递增, 在每个区间 $((2k + 1)\pi, (2k + 2)\pi), k \in \mathbb{Z}$ 上单调递减
+
+### 诱导公式
+
+$2\pi$:
+
+1. $\cot (2\pi + x) = \cot x$
+2. $\sec (2\pi + x) = \sec x$
+3. $\csc (2\pi + x) = \csc x$
+4. $\cot (2\pi - x) = - \cot x$
+5. $\sec (2\pi - x) = \sec x$
+6. $\csc (2\pi - x) = - \csc x$
+
+$\pi$:
+
+1. $\cot (\pi + x) = \cot x$
+2. $\sec (\pi + x) = - \sec x$
+3. $\csc (\pi + x) = - \csc x$
+4. $\cot (\pi - x) = - \cot x$
+5. $\sec (\pi - x) = - \sec x$
+6. $\csc (\pi - x) = \csc x$
+
+$\frac{\pi}{2}$:
+
+1. $\cot \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = - \tan x$
+2. $\sec \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = - \csc x$
+3. $\csc \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sec x$
+4. $\cot \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan x$
+5. $\sec \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \csc x$
+6. $\csc \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sec x$
+
+### 三角函数的导数
+
+性质讲的差不多了那我们就上导数吧 awa
+
+1. $(\tan x)' = \left(\cfrac{\sin x}{\cos x}\right)' = \cfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x$
+2. $(\cot x)' = \left(\cfrac{1}{\tan x}\right)' = - \cfrac{\sec^2 x}{\tan^2 x} = -\csc^2 x$
+3. $(\sec x)' = \left(\cfrac{1}{\cos x}\right)' = \cfrac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x \tan x$
+4. $(\csc x)' = \left(\cfrac{1}{\sin x}\right)' = - \cfrac{\cos x}{\sin^2 x} = - \csc x \cot x$
+
+$\uarr \uarr \uarr$ 上面的导数公式给我背熟！！！ $\uarr \uarr \uarr$
+
+## 反三角函数
+
+嗯~ o(*￣▽￣*)o
+三角函数搞完了就可以看反三角函数啦awa
+
+### 反三角函数的定义
+
+三角函数是由角求比值, 反三角函数就是由比值求角.
+但是, 由于三角函数的周期性, 使得 6 个三角函数在 $\mathbb{R}$ 上都不是单射, 所以都没有反函数.
+这样子, 我们就必须对定义域进行限制, 保证反函数的存在性.
+
+怎么限制呢？不妨直接选一个周期或半个周期长的区间, 在保证值域和定义域为 $\mathbb{R}$ 的值域相同的基础上, 尽量靠近原点, 那我们就只需要考虑下面的函数:
+
+1. $y = \sin x, x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], y \in [-1, 1]$
+2. $y = \cos x, x \in [0, \pi], y \in [-1, 1]$
+3. $y = \tan x, x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), y \in \mathbb{R}$
+
+于是我们就可以定义反正弦、反余弦和反正切函数
+
+- $y = \arcsin x, x \in [-1, 1], y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
+- $y = \arccos x, x \in [-1, 1], y \in [0, \pi]$
+- $y = \arctan x, x \in \mathbb{R}, y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
+
+### 反三角函数的图像和性质
+
+![arcsin x](arcsin.png)
+![arccos x](arccos.png)
+![arctan x](arctan.png)
+
+#### 单调性
+
+- $\arcsin x, \arctan x$ 在其定义域内单调递增
+- $\arccos x$ 在定义域内单调递减
+
+#### 奇偶性
+
+- $\arcsin x, \arctan x$ 都为奇函数
+- $\arccos x$ 既不是奇函数也不是偶函数
+
+到这里其实反三角函数就了解的差不多咯~<br>
+我们还是推荐看B 站[宋浩老师](https://space.bilibili.com/66607740)的视频awa