[Article] 容斥原理推导全错排公式 (#3)

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Co-authored-by: xieyuen <xieyuenol@outlook.com>

Author: ZFCarrotFDH

content/categories/FDH/_index.md

@@ -0,0 +1,10 @@
+---
+title: Contests
+description:  
+    Femboy's Dessert House with Delicious Math Goody (-3-)
+
+style:
+    background: "#ff348f8f"
+    color: "#fff"
+---
+

content/post/cute/wrongarrange.md

@@ -0,0 +1,124 @@
+---
+title: "我能在数学选必部分只看了第三册的情况下完成全错排通项公式推导吗？"
+description: 全错排通项公式的归纳推导方法
+date: 2026-03-28
+image:
+math: true
+license: All Right Reserved, 河源中学数学研究协会
+hidden: false
+comments: true
+darft: false
+categories:
+    - FDH
+tags:
+    - Femboy's Dessert House
+---
+
+## 导入
+
+我叫追风卡洛特，复姓追风，是河中的超气人~~娼年~~小南梁.
+
+为了让自己的腿子更健美，我今天约了同学，**一共3个人去跑步**.我们脱下校服放成一堆就上道了.跑完后，
+每人随手抓了一件校服就穿上了，**匆忙之下，所有人都没穿到自己的衣服**.
+
+**请问，在此情况下一共有多少种穿衣服的方法？**
+
+**如果跑步的人一共是4人呢？5人呢？10000人呢？**
+
+## 正片开始
+
+导入中描述的就是典型的**全错排问题**.首先，有$n$个元素进行排列，每个元素均有自己对应的位置，**全错排问题**
+就是去研究所有元素都不排在原来所对应的位置的情况总数.例如，对于(1,2,3)的全错排情形，有(2,3,1),(3,1,2)共两种.
+
+下面，我们令$n$个元素的全错排排列总数为$a_n$，研究数列$\{a_n\}$的通项公式.
+
+### 基于容斥原理的归纳推导方法
+
+全错排公式的推导一般有**递推数列法**和**容斥原理法**两种.但由于标题说了，选必部分我们只看了第三册，因此此处
+采用容斥原理的方法.以$n=4$时的全错排为例.
+
+首先，我们需要采用一种**正难则反**的思想，即先将所有可能都算出来，再减去不合题意的情况.
+
+四种元素的排列共
+
+$$
+A_4^4=24
+$$
+
+种.
+
+接下来，**容斥原理**登场.这个原理，我愿称之为“加多了就减，减多了就加，加减交替，一步步地接近真实”.容易发现，
+在4个元素的全部排列中，包含“**至少**有1个元素正确排列”的情况（按照容斥原理的逻辑，应从包含情况较多的集合开
+始考虑），下面减去
+
+$$
+A_4^4-C_4^1A_3^3
+$$
+
+其中 $C_4^1$ 代表从4个元素中选出一个正确排列，$A_3^3$ 表示剩余3个元素任意排列.下文类似逻辑不再赘述.
+
+接着，容易发现，在“至少有1个元素正确排列”的情况中包含“至少有2个元素正确排列”的情况.也就是说，上面的操作“减多了”，
+于是下面我们加回去
+
+$$
+A_4^4-C_4^1A_3^3+C_4^2A_2^2
+$$
+
+同理，在“至少有2个元素正确排列”的情况中包含“至少有3个元素正确排列”的情况......以此类推，最终我们得出式子：
+
+$$
+A_4^4-C_4^1A_3^3+C_4^2A_2^2-C_4^3A_1^1+1
+$$
+
+最后的“1”，表示“4个元素全部排列正确”的情况。
+
+计算该式子，得出答案为**9**.
+
+列举4种元素的全错排方式如下
+
+(4,3,2,1),(4,1,2,3),(4,3,1,2),(3,4,1,2),
+(3,4,1,2),(2,4,1,3),(2,1,4,3),(3,1,4,2),
+(2,3,4,1)
+
+凡9种，与计算结果相符.
+
+此时，展开我们最后得到的式子，得到
+
+$$
+4\times3\times2\times1-4\times3\times2+4\times3-4+1
+$$
+
+观察可以发现，多项式中的第一项是$4!$，此后每一项都比前一项少个“尾巴”.
+
+写成阶乘的形式，得到
+$$
+\frac{4!}{0!}-\frac{4!}{1!}+\frac{4!}{2!}-\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{4!}
+$$
+不难发现，每一项的正负与该项分母的奇偶有关.所以又能写成
+$$
+\sum_{i=1}^4 \frac{{(-1)^i}4!}{i!}
+$$
+事实上，对于$n$为其他正整数的情况，也能得到这种结构，读者可自行验证.
+
+于是我们得到全错排公式
+$$
+\boxed{
+a_n=\sum_{i=1}^n \frac{{(-1)^i}n!}{i!}
+}
+$$
+推导完毕！！！(ᕑᗢᓫ∗)
+
+## 可能存在的疑问
+
+- 对于4个元素的全错排，3个元素排列正确就意味着4个元素排列正确，为什么重复计算？
+
+这个我认为是容斥原理的计算规则.我们在集合中使用容斥原理时，是按交集的个数递增的顺序计算的，像
+|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B∩C|（|X|表示集合X中元素个数）.你可以画Venn图，每一个
+圆圈代表一个元素的正确排列，就会发现其实我们要求的是“有元素正确排列”的情况，即所有集合的并集的元素个数.
+由于针对集合的计算是正确的，所以即便有些集合是空集，算出来的结果也同样是符合真实状况的.
+
+- 我算出的情况重复了.
+
+应该的，你多次计算了交集的部分，后面减去就好了.
+
+更多疑问可致信河中数协官方邮箱<hyzxmath@outlook.com>或者在下方评论区留言，小南梁会耐心为您解答♡