描述回溯剖析算法與左遞迴問題

Author: MROS

book/零．一版/剖析（語法分析）.md

@@ -71,9 +71,11 @@
 
 思考題：有沒有辦法定義上下文無關語法，把同一層級的括號限制在一對，禁止`((１＋２))`、`(((１＋２)))`之無意義括號？
 
-為方便觀看，以下將音界咒零・一版全部語法定義寫在一起，並將其縮排：
+為方便觀看，以下將音界咒零・一版全部語法定義縮排後寫在一起，並加入一條`音界咒檔 = 音界咒・檔案結尾`，以生成檔案結尾（EOF）而完整描述音界咒檔案。
 
 ```語法
+音界咒檔 = 音界咒・檔案結尾
+
 音界咒     = 句
           | 句・音界咒
 
@@ -113,13 +115,104 @@
 遇到歧義與法時，也可以嘗試直接修原語法定義，寫出一套無歧義的語法。`算式`的例子可以透過額外增加`乘除式`、`原子式`兩層級來迫使先乘除後加減：
 
 ```
-算式      = 乘除式 | 乘除式・加減・乘除式
-乘除式    = 原子式 | 原子式・乘除・原子式
+算式   = 乘除式
+      | 算式・＋・乘除式
+      | 算式・−・乘除式
+乘除式 = 原子式
+      | 乘除式・＊・原子式
+      | 乘除式・／・原子式
+原子式 = 數字
+      | 變數
+      | "（"・算式・"）"
+```
+
+## 回溯剖析
+
+再整理一次音界咒語法。
+
+```語法
+音界咒檔 = 音界咒・檔案結尾
+
+音界咒     = 句
+          | 句・音界咒
+
+句        = 變數宣告式
+          | 算式
+
+變數宣告式 = "元"・"・"・變數・"＝"・算式
+
+算式   = 乘除式
+      | 算式・＋・乘除式
+      | 算式・−・乘除式
+
+乘除式 = 原子式
+      | 乘除式・＊・原子式
+      | 乘除式・／・原子式
+
+原子式 = 數字
+      | 變數
+      | "（"・算式・"）"
+```
+
+前文提到，有了語法規則定義，就能透過遞迴展開生成符（生成符，即在語法規則左側出現，還能繼續展開的符號），最終獲得所有長度小於 n 的展開式。
+
+當吾人想要剖析時，也能利用這個想法，若一份文本長度為 n ，那遞迴生成出所有長度等於 n 的展開式，並一一與原始碼做比對，比到一種展開是一模一樣的，檢視當下的展開過程，就能得到語法樹了。
+
+一直展開到長度 n 才比對，太浪費時間了，一發現當下的展開式已經跟文本不一樣，就可以放棄目前展開，回溯到上個還沒失敗的狀態。
+
+寫成虛擬碼如下：
+
+``` 音界
+// 「剖析」函式嘗試以「展開式」來生成「文本」
+
+「文本」為一全域變數
+
+剖析（展開式）-> 成功｜失敗：
+    匹配展開式與文本，若相等，回傳成功
+
+    首生成符 = 展開式中的第一個生成符
+    
+    遍歷首生成符的「生成規則」 {
+        新展開式 = 在原展開式中，以「生成規則」展開首生成符
+        若「新展開式」的前綴已與文本不同，嘗試下個規則
+
+        若「剖析（新展開式）」成功，回傳成功
+    }
+
+    走到這裡表示所有規則都不行，回傳失敗
+
+// 初始展開式僅為「音界咒檔」
+剖析（音界咒檔）
+```
+
+以上虛擬碼為求簡單，省略了許多優化，例如說，首生成符的位置跟目前比對無誤的文本位置都應該紀錄起來，不用每次都從頭比對。另外，編譯器應用中，剖析應回傳語法樹，而非單單成功或失敗。
+
+## 消除左遞迴
+
+注意到`剖析（展開式）`是遞迴函式，它會嘗試以各種規則展開首生成符，然後繼繻呼叫`剖析（新展開式）`。
+
+觀察`剖析（算式）`，只要第一個規則`算式 = 乘除式` 配對失敗，就會嘗試匹配`算式 = 算式・＋・乘除式`，也就是呼叫`剖析（算式・＋・乘除式）`，此一規則並沒有消耗任何文本，第一個規則剛剛不能生效，此刻一樣不能生效，於是會再套用一次`算式 = 算式・＋・乘除式`得到`剖析（算式・＋・乘除式・＋・乘除式）`......如此落入無窮遞迴。
+
+若保證每個展開都能消耗掉至少一個字符，就能避免落入遞迴，但文本卻完全不變的狀況。再次改寫算式：
+
+其中 e 代表空字串。
+
+```
+算式      = 乘除式・重複乘除式
+
+重複乘除式 = ＋・重複乘除式
+         | −・重複乘除式
+         | e
+
+乘除式    = 原子式・重複原子式
+
+重複原子式 = ＊・重複乘除式
+         | ／・重複乘除式
+         | e
+
 原子式    = 數字
          | 變數
          | "（"・算式・"）"
-乘除     = "＊"
-        | "／"
-加減     = "＋"
-        | "−"
 ```
+
+算式被改寫了真多次，由此可見寫出易於剖析的語法不是一件易事。所幸，這是零・一版最後一次重寫語法了。